Quadratic Equations Class 10 Notes in Hindi: NCERT आधारित सम्पूर्ण नोट्स, सूत्र एवं उदाहरण

Quadratic Equations Class 10 Notes: Quadratic Equations गणित का एक महत्वपूर्ण अध्याय है। इसमें ऐसे समीकरणों का अध्ययन किया जाता है जिनमें चर (variable) का उच्चतम घातांक (highest power) 2 होता है। इस अध्याय में हम द्विघात समीकरण की पहचान, उसके मानक रूप, हल करने की विभिन्न विधियाँ तथा उनके अनुप्रयोगों का अध्ययन करेंगे। यह अध्याय बोर्ड परीक्षा तथा प्रतियोगी परीक्षाओं दोनों के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। Download NCERT BOOK PDF.

Quadratic Equations Class 10 Notes: Complete Notes

What is a Quadratic Equation? (द्विघात समीकरण क्या है?)

Quadratic Equation वह समीकरण है जिसमें किसी चर (variable) की सबसे बड़ी घात 2 होती है।

Standard Form (मानक रूप)

$$ax^2 + bx + c = 0$$

जहाँ,

• $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं।
• $a \neq 0$
• $x$ चर (variable) है।

Examples

• $x^2 + 5x + 6 = 0$
• $2x^2 – 7x + 3 = 0$
• $3x^2 + 4 = 0$

Non-Examples

• $x^3 + 2x = 0$ (घात 3 है)
• $5x + 7 = 0$ (रेखीय समीकरण)

Important Points

• द्विघात समीकरण की उच्चतम घात 2 होती है।
• इसमें अधिकतम दो मूल (roots) हो सकते हैं।
• इसे विभिन्न विधियों से हल किया जा सकता है।

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Formation of Quadratic Equation (द्विघात समीकरण का निर्माण)

कई बार किसी समस्या को हल करते समय हमें समीकरण बनाना पड़ता है। यदि बनने वाले समीकरण में चर की उच्चतम घात 2 हो तो वह द्विघात समीकरण कहलाता है।

Example

यदि किसी संख्या का वर्ग 25 है, तो$$x^2 = 25$$$$x^2 – 25 = 0$$

यह एक द्विघात समीकरण है।

ध्यान रखें

• समीकरण को हमेशा मानक रूप $ax^2+bx+c=0$ में लिखना चाहिए।
• सभी पदों को एक तरफ लाकर शून्य के बराबर किया जाता है।

Solution of a Quadratic Equation (द्विघात समीकरण का हल)

किसी द्विघात समीकरण को संतुष्ट करने वाले $x$x के मान उसके मूल (Roots) कहलाते हैं।

Example

$$x^2-5x+6=0$$

इसके मूल हैं:$$x=2 \quad \text{और} \quad x=3$$

क्योंकि$$2^2-5(2)+6=0$$

और$$3^2-5(3)+6=0$$

महत्वपूर्ण तथ्य

• एक द्विघात समीकरण के दो, एक या कोई वास्तविक मूल नहीं हो सकते।
• मूल समीकरण को सत्य बनाते हैं।

Methods of Solving Quadratic Equations (द्विघात समीकरण हल करने की विधियाँ)

NCERT में मुख्यतः निम्नलिखित विधियाँ दी गई हैं:

1. Factorisation Method (गुणनखंड विधि)
2. Completing the Square Method (वर्ग पूर्ण करने की विधि)
3. Quadratic Formula Method (द्विघात सूत्र विधि)

Factorisation Method (गुणनखंड विधि)

इस विधि में द्विघात व्यंजक को दो रैखिक गुणनखंडों में विभाजित किया जाता है।

Steps

• समीकरण को मानक रूप में लिखें।
• ऐसे दो संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल $ac$ac तथा योग $b$b हो।
• मध्य पद को विभाजित करें।
• गुणनखंड करें।
• प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखें।

Example

$$x^2+5x+6=0$$$$x^2+2x+3x+6=0$$$$x(x+2)+3(x+2)=0$$$$(x+2)(x+3)=0$$

अतः$$x=-2,\,-3$$

Advantages

• सरल और तेज विधि।
• छोटे प्रश्नों में उपयोगी।

Completing the Square Method (वर्ग पूर्ण करने की विधि)

इस विधि में समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप में बदला जाता है।

Steps

• स्थिर पद (constant term) को दूसरी ओर भेजें।
• $x^2$ का गुणांक 1 बनाएँ।
• दोनों पक्षों में $(\frac{b}{2})^2$ जोड़ें।
• पूर्ण वर्ग बनाएँ।
• वर्गमूल लेकर हल प्राप्त करें।

Example

$$x^2+6x+5=0$$$$x^2+6x=-5$$

दोनों पक्षों में 9 जोड़ें:$$x^2+6x+9=4$$$$(x+3)^2=4$$$$x+3=\pm2$$ $$x=-1,\,-5$$

Importance

• यह विधि द्विघात सूत्र की उत्पत्ति का आधार है।
• जटिल प्रश्नों में उपयोगी होती है।

Quadratic Formula (द्विघात सूत्र)

किसी भी द्विघात समीकरण$$ax^2+bx+c=0$$

का हल निम्न सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है:$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

याद रखने योग्य बातें

• यह सभी द्विघात समीकरणों पर लागू होता है।
• Factorisation संभव न होने पर सबसे उपयोगी विधि है।
• परीक्षा में अत्यंत महत्वपूर्ण सूत्र है।

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Solving by Quadratic Formula (द्विघात सूत्र द्वारा हल)

Example

$$2x^2+5x-3=0$$

यहाँ$$a=2,\quad b=5,\quad c=-3$$

सूत्र में मान रखने पर$$x=\frac{-5\pm\sqrt{25+24}}{4}$$$$x=\frac{-5\pm7}{4}$$

अतः$$x=\frac12,\,-3$$

Tips

• $a,b,c$a,b,c की पहचान सावधानी से करें।
• ऋणात्मक चिन्हों का विशेष ध्यान रखें।

Discriminant (विविक्तक)

Quadratic Formula में$$D=b^2-4ac$$

को Discriminant कहते हैं।

यह मूलों की प्रकृति बताता है।

Case 1: $D>0$

• दो भिन्न वास्तविक मूल।
• Roots unequal होते हैं।

Case 2: $D=0$

• दोनों मूल समान।
• Repeated roots प्राप्त होते हैं।

Case 3: $D<0$

• कोई वास्तविक मूल नहीं।
• Imaginary roots प्राप्त होते हैं।

Importance

• मूल निकालने से पहले ही उनकी प्रकृति ज्ञात हो जाती है।
• बोर्ड परीक्षा में अक्सर पूछा जाता है।

Nature of Roots (मूलों की प्रकृति)

Discriminant	Nature of Roots
D > 0	Two distinct real roots
D = 0	Equal real roots
D < 0	No real roots

Example

$$x^2-4x+4=0$$$$D=(-4)^2-4(1)(4)$$ $$D=16-16=0$$

अतः दोनों मूल समान होंगे।

Applications of Quadratic Equations (द्विघात समीकरणों के अनुप्रयोग)

Quadratic Equations का उपयोग दैनिक जीवन तथा विज्ञान के अनेक क्षेत्रों में होता है।

Uses

• क्षेत्रफल (Area) से संबंधित प्रश्न।
• आयु (Age) संबंधी समस्याएँ।
• गति एवं दूरी (Speed and Distance)।
• आयत एवं वर्ग से संबंधित समस्याएँ।
• भौतिकी और इंजीनियरिंग में गणनाएँ।

Example

यदि किसी आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 5 m अधिक है और क्षेत्रफल 84 m² है, तो चौड़ाई ज्ञात करने के लिए द्विघात समीकरण बनती है।

Important Formulae (महत्वपूर्ण सूत्र)

Standard Form

$$ax^2+bx+c=0$$

Discriminant

$$D=b^2-4ac$$

Quadratic Formula

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Nature of Roots

• $D>0$ ⇒ दो भिन्न वास्तविक मूल
• $D=0$ ⇒ समान वास्तविक मूल
• $D<0$ ⇒ कोई वास्तविक मूल नहीं

Exam Tips (परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण सुझाव)

• द्विघात समीकरण का मानक रूप हमेशा याद रखें।
• Factorisation और Quadratic Formula दोनों विधियों का अभ्यास करें।
• Discriminant से संबंधित प्रश्न अवश्य तैयार करें।
• सूत्रों को नियमित रूप से लिखकर याद करें।
• NCERT के सभी उदाहरण और अभ्यास प्रश्न हल करें।
• गणना करते समय चिन्हों (+, −) की गलती न करें।

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Chapter Summary (अध्याय सारांश)

• द्विघात समीकरण की उच्चतम घात 2 होती है।
• इसका मानक रूप $ax^2+bx+c=0$ है।
• इसे गुणनखंड, वर्ग पूर्ण तथा द्विघात सूत्र विधि से हल किया जाता है।
• Discriminant $b^2-4ac$ मूलों की प्रकृति बताता है।
• द्विघात सूत्र सभी प्रकार के द्विघात समीकरणों पर लागू होता है।
• यह अध्याय बोर्ड परीक्षा में अत्यंत महत्वपूर्ण है और इसके प्रश्न लगभग हर वर्ष पूछे जाते हैं।