Pair of Linear Equations in Two Variables Class 10 Notes in Hindi | NCERT Solutions & Easy Explanation

Pair of Linear Equations in Two Variables Class 10: कक्षा 10 गणित का अध्याय “Pair of Linear Equations in Two Variables” बोर्ड परीक्षा की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण है। इस अध्याय में विद्यार्थी दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म, उनके ग्राफ, तथा विभिन्न बीजीय विधियों जैसे Substitution Method, Elimination Method और Cross Multiplication Method का अध्ययन करते हैं। यदि आप इस अध्याय को सरल भाषा में समझना चाहते हैं, तो ये नोट्स आपके लिए बहुत उपयोगी साबित होंगे।

यहाँ प्रत्येक विषय को Hindi + English भाषा में आसान उदाहरणों और महत्वपूर्ण सूत्रों के साथ समझाया गया है, जिससे विद्यार्थी अवधारणाओं को जल्दी समझ सकें और परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त कर सकें। ये नोट्स NCERT पाठ्यक्रम पर आधारित हैं तथा बोर्ड परीक्षा, स्कूल टेस्ट और प्रतियोगी परीक्षाओं की तैयारी के लिए भी उपयुक्त हैं। अध्याय के अंत में महत्वपूर्ण बिंदु और सारांश भी दिए गए हैं जिससे त्वरित पुनरावृत्ति (Revision) की जा सके। Download PDF NCERT.

Pair of Linear Equations in Two Variables: Class 10 Notes

What is a Linear Equation in Two Variables? (दो चरों वाला रैखिक समीकरण क्या है?)

एक ऐसा समीकरण जिसमें दो चर (Variables) हों और प्रत्येक चर की घात (Power) 1 हो, उसे दो चरों वाला रैखिक समीकरण कहते हैं।

General Form

$$ax + by + c = 0$$

जहाँ,

• x और y चर (Variables) हैं।
• a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं।
• a तथा b दोनों एक साथ शून्य नहीं हो सकते।

Examples

• 2x + 3y = 7
• x – y = 4
• 5x + 2y = 10

इन सभी में x और y की घात 1 है, इसलिए ये रैखिक समीकरण हैं।

Pair of Linear Equations in Two Variables (दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म)

जब दो रैखिक समीकरण एक साथ दिए जाते हैं, तो उन्हें Pair of Linear Equations कहते हैं।

General Form

$$a_1x+b_1y+c_1=0$$$$a_2x+b_2y+c_2=0$$

Example

$$2x+y=5$$$$3x-y=4$$
इन दोनों समीकरणों का संयुक्त रूप एक Pair of Linear Equations कहलाता है।

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Solution of a Pair of Linear Equations (रैखिक समीकरणों के युग्म का हल)

दोनों समीकरणों को संतुष्ट करने वाला x तथा y का मान उनका हल (Solution) कहलाता है।

Example

$$x+y=5$$$$x-y=1$$

हल करने पर:$$x=3,\quad y=2$$x=3,y=2

अतः (3, 2) इसका समाधान है।

Graphical Method (आलेखीय विधि)

इस विधि में दोनों समीकरणों का ग्राफ बनाया जाता है।

Steps

• प्रत्येक समीकरण के कम से कम दो बिंदु ज्ञात करें।
• ग्राफ पेपर पर बिंदुओं को अंकित करें।
• दोनों रेखाएँ खींचें।
• प्रतिच्छेदन बिंदु (Point of Intersection) ज्ञात करें।
• वही दोनों समीकरणों का हल होगा।

Important Point

ग्राफ द्वारा प्राप्त हल अनुमानित (Approximate) होता है।

Possible Conditions of Two Lines (दो रेखाओं की संभावित स्थितियाँ)

दो रेखाओं के बीच तीन प्रकार की स्थितियाँ हो सकती हैं।

1. Intersecting Lines (प्रतिच्छेदी रेखाएँ)

जब दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं।

Characteristics

• केवल एक हल होता है।
• प्रणाली संगत (Consistent) होती है।

Condition

$$\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}$$

Example

$$x+y=4$$$$x-y=2$$

2. Parallel Lines (समांतर रेखाएँ)

जब दोनों रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं।

Characteristics

• कोई हल नहीं होता।
• प्रणाली असंगत (Inconsistent) होती है।

Condition

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$$

Example

$$x+y=2$$$$2x+2y=5$$

3. Coincident Lines (संपाती रेखाएँ)

जब दोनों रेखाएँ एक-दूसरे पर पूरी तरह स्थित हों।

Characteristics

• अनंत हल होते हैं।
• प्रणाली आश्रित एवं संगत होती है।

Condition

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$$

Example

$$x+y=3$$$$2x+2y=6$$

Algebraic Methods of Solving Pair of Linear Equations

दो रैखिक समीकरणों को बीजगणितीय रूप से हल करने की तीन प्रमुख विधियाँ हैं।

1. Substitution Method
2. Elimination Method
3. Cross Multiplication Method

Substitution Method (प्रतिस्थापन विधि)

इस विधि में एक समीकरण से किसी एक चर का मान निकालकर दूसरे समीकरण में रखा जाता है।

Steps

• एक समीकरण से x या y का मान ज्ञात करें।
• इस मान को दूसरे समीकरण में रखें।
• दूसरे चर का मान ज्ञात करें।
• प्राप्त मान को पहले समीकरण में रखकर शेष चर का मान निकालें।

Example

$$x+y=5$$$$x-y=1$$

पहले समीकरण से:$$x=5-y$$

दूसरे में रखने पर:$$5-y-y=1$$$$5-2y=1$$$$y=2$$$$x=3$$

Elimination Method (विलोपन विधि)

इस विधि में किसी एक चर को समाप्त (Eliminate) किया जाता है।

Steps

• दोनों समीकरणों में किसी एक चर के गुणांक समान करें।
• जोड़ या घटाव करें।
• एक चर समाप्त हो जाएगा।
• दूसरे चर का मान ज्ञात करें।
• प्राप्त मान को किसी भी समीकरण में रखकर दूसरा मान निकालें।

Advantage

यह बोर्ड परीक्षा में सबसे अधिक प्रयुक्त एवं सरल विधि है।

Cross Multiplication Method (तिर्यक गुणन विधि)

जब समीकरण$$a_1x+b_1y+c_1=0$$$$a_2x+b_2y+c_2=0$$

रूप में हों, तब

Formula for x

$$x= \frac{b_1c_2-b_2c_1} {a_1b_2-a_2b_1}$$

Formula for y

$$y= \frac{c_1a_2-c_2a_1} {a_1b_2-a_2b_1}$$

Use

• बड़े प्रश्नों में उपयोगी।
• प्रतियोगी परीक्षाओं में समय बचाता है।

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Consistent and Inconsistent Systems

Consistent System (संगत निकाय)

जिस निकाय का कम से कम एक हल हो।

Types

• Unique Solution
• Infinite Solutions

Inconsistent System (असंगत निकाय)

जिस निकाय का कोई हल न हो।

Example

समांतर रेखाएँ।

Applications of Pair of Linear Equations (अनुप्रयोग)

दैनिक जीवन की अनेक समस्याओं को दो रैखिक समीकरणों द्वारा हल किया जा सकता है।

Examples

• आयु संबंधी प्रश्न
• संख्या संबंधी प्रश्न
• धन संबंधी प्रश्न
• गति एवं दूरी के प्रश्न
• मिश्रण संबंधी प्रश्न
• व्यापार एवं लाभ-हानि प्रश्न

Important Formula Table: Pair of Linear Equations in Two Variables Class 10

Condition	Nature of Lines	Number of Solutions
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂	Intersecting	One
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂	Parallel	No Solution
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂	Coincident	Infinite Solutions

Pair of Linear Equations in Two Variables Class 10: Exam Important Points

• रैखिक समीकरण में प्रत्येक चर की घात 1 होती है।
• ग्राफिकल विधि से प्राप्त हल अनुमानित होता है।
• प्रतिच्छेदी रेखाएँ एकमात्र हल देती हैं।
• समांतर रेखाओं का कोई हल नहीं होता।
• संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं।
• विलोपन विधि बोर्ड परीक्षा में सबसे अधिक उपयोगी है।
• Cross Multiplication Method प्रतियोगी परीक्षाओं में समय बचाती है।
• Solution वह बिंदु है जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है।

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Pair of Linear Equations in Two Variables Class 10: Chapter Summary

दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म गणित का एक महत्वपूर्ण अध्याय है। इसमें दो समीकरणों को Graphical Method, Substitution Method, Elimination Method तथा Cross Multiplication Method द्वारा हल किया जाता है। रेखाओं की स्थिति के आधार पर हल एक, शून्य या अनंत हो सकते हैं। यह अध्याय बोर्ड परीक्षा में अत्यंत महत्वपूर्ण है और आगे की गणितीय पढ़ाई का आधार भी बनता है।

Frequently Asked Questions (FAQs)